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一、证明题

1． 设函数

（1）当n 为正整数, 且（2）

.

, 且

, 所以

又因为

是以为周期的函数, 所以

所以当

（2）由（1）知, 当

时,

有

. 时, 有

令

可得

.

时, 证明:

【答案】（1）因为

2． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零, 证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

使得

可以证明对于任意的无理点, 函数值都为零, 对于区间上的任意无理点

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由己知函数在任何有理点为零, 故此函数恒为零.

3． 证明:若三角级数

中的系数

满足关系

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存

M 为常数, 则上述三角级数收敛, 且其和函数具有连续的导函数. 【答案】

设

上连续, 由

可知

且级数

收敛, 故级数

在

上一致收敛, 记

又因为

所以

且

时

&

上均连续, 且

及级数

收敛, 故可得级数

收敛且一致收敛, 记

由定理（连续性）可知, 该级数的和函数g （x ）在知

所以级数

4． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列

【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）令

则

5． 设

当当

. 求证:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式:

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故的每一项均

在

上连续. 又由定理（逐项求导）

的和函数S （x ）有连续的导函数g （x ）.

总有

都有一定存在

有

.

则称a 为数集A 的上确界, 即

在区间上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

即可导出:有

因此, 取因此,

6． 设正项级

【答案】因为进而由比较原则得

7． 证明:对黎曼函数

【答案】

. 于是当

在

设时, 有

, 令, 则

。

上一致连续.

也收敛. ，义由已知碍

收敛. 有

（当

或1时, 考虑单侧极限） 及

收敛，所以

收敛，

收敛，证明级数

上的黎曼函数的定义为

对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得

（若

为既约真分数, 则

取

.

若

使得则当

因而p 也只有有限个. 于是在

时, 有

内不含这有限个既约真分数.

则当

则当

故

8． 设f （X ）在

上n+1阶导数且. 由微分中值定理

求证:

..

【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1）可得

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及