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一、证明题

1． 设

点集存在

又且

其中

与

在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为平面中的

在E 上一致连续.

,

就有

存在

, 因此

故复合函数 2． 设

【答案】令在又有

内可导,

, 故由柯西中值定理, 存在

, 证明存在

. 使得, 则

在, 于是当, 使得

3． 设

为无穷小数列,

为有界数列, 证明:

为无穷小数列.

又因为

为无穷

时,

有

因此, 当n>N

. 上连续,

时, , 即

与

不同时为零.

在E 上一致连续.

使当

为D 上任意两个点. 由于在D 上一致连续, 从而对任给的只要

在D 上一致连续, 证明:复合函数

【答案】设点

, 使对一切

在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有

【答案】因时,

为有界数列, 故存在

所以

使得对一切正整数n , 有故

为无穷小数列.

小数列, 所以对任

给存在正整数N ,

当

二、解答题

4． 利用定积分求极限:

（1）（2）（3）（4）

;

.

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【答案】（1）把极限化为某一积分的极限, 以便用定积分来计算, 为此作如下变形:

这是函数

,

而

在区间[0, 1]上的一个积分和的极限. 这里所取的是等分分割,

恒为小区间

的右端点,

（2）

不难看出, 其中的和式是函数

在区间[0, 1]上的一个积分和. 所以有

（3）

（4）

5． 求最小实数C , 使得满足

【答案】一方面

另一方面, 如果取

, 则有

. 而

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所以有

的连续函数f （x ）都有.

由此可知, 最小实数C=2.

6． 讨论狄利克雷函数

的有界性、单调性与周期性. 【答案】①对于任意的②

而

③对于任意的正有理数r 有

因此, 对任意

有

所以, 任意正有理数都是

的周期, 即

是R 上的周期函数.

7． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

而当0

即当0

时, 由于

所以f （x , y ）在点（0, 0）不连续. （2）函数的定义域为当轴上任一点

, 当

时有

, 于是

则f （x , y）在y 轴上处处连续, 故f （x , y）在其定义域上是连续的.

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总有故可见,

在R 上有界. 在R 上不具有单调性.

（p>0）, 在点（0, 0）处; 在其定义域上.

, 所以

.

时, 由初等函数的连续性知f （x , y ）连续. 下面只考虑x=0（即y 轴）上点的连续性. 对y