2018年陕西师范大学数学与信息科学学院726数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.
【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在
内有
, 即
以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.
f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设
. 于是得到数列, 则
, 矛盾
, 由致密性定理,
中存在收敛子列
,
,
, 设
则
,
（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,
则利用二等分法构造区间套
, 使得f （x ）在每个区间 2． 设
【答案】由
知
且
又因为
减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到
3． 证明:若, 则
（1）（2）
【答案】（1）令从这个等式中解出
收敛. 令
解得
由
知
即
数列
是单调递
证明:数列
收敛, 且其极限为
上无界. 由区间套定理, 存在唯一的
然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.
. 对（极限保号性）
舍去负根, 因此,
, 其中 , 在区间得,
上应用拉格朗日中值定理, 得
因为, 所以. 又因为
所以
（2）
4． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
5． 设
（1）（2）
【答案】（1）
（2）用数学归纳法证明. 由（1）知, 当n=1时, 命题成立. 假设当n=k时, 命题成立, 则当时,
可微.
【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
可微.
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
, 证明:
;
即当
6． 设函数
【答案】
时, 命题也成立. 于是（2）的结论得证. 在
连续, 并且
求证:
存在, 并且
于是, 有
把这些式子左右两边对应相加得
由于
在
连续, 对
取极限,
此即
7． 证明:
【答案】
于是, 对于有界性定理知, 存在
故
8． 求平面曲线段等长.
【答案】令所以, 曲线上任一点化简即
存在, 且
为有界函数.
, 存在, 使得当
时.
对, 有. 在[—M , M]上, 由连续函数的
. 于是, 对于一切
, 使得当
为有界函数.
上任一点处的切线方程, 并证明这些切线被坐标轴所截取的线则
处的切线方程为: