2018年青岛大学师范学院880数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设
（1）若在某（2）证明:若例如, 取
内有则在某
内有
保不等式性只能从则在0的任一空心邻域
内
（2）令使得当
因为
时, 有
所以
由于
即
同时, 由于
所以存在
使得当
时, 有
取
.
2． 计算下列引力:（1）均匀薄片量的引力; （2）均匀柱体
,
, z=0, 对于轴上一点（0, 0, c ）, （c>0）处的单位质, （c>h）处的单位质量的引力; （3）对于点P （0, 0, c ）
则
当
时
,
即在空心邻
域
内
有
即
所以存在
.
问是否必有
推出
但
.
? 为什么?
【答案】（1）不一定有
均匀密度的正圆锥体（高h , 底半径R ）对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】（1）设物体密度为u , 由对称性, 引力必在Z 轴方向上因此.
故
（2）设物体密度为, 则由对称性知
下求
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故
其中k
为引力系数.
（3）设物体密度为, 由对称性知
, 只需求设顶点坐标为（0, 0, h ）,
由柱坐标变换（正圆锥体V 在xOy 面投影区域D :
）.
则引力为
3． 过点（
4, 0）作曲线
（1）求切线的方程;
（2
）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积
, 其中k 为引力系数.
的切线.
图
【答案】（
1）令
则
过点（4, 0）作曲线
的切线, 切线与x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
. 于是切线斜率为
（2）所求的旋转体的体积为
4． 设
【答案】归纳法易知
即
求
有上界, 然后又因为
, 切线方程是
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所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设
5． 求心形线
【答案】所围图形的面积为
所围图形的面积.
对
极限存在.
解
得
即
两边取极限
得
6． 确定下列函数的单调区间:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（x ）递减.
（2）f （x ）的定义域为因此在
（3）f （x ）的定义域为在
和
7． 设
【答案】
这里max 表示取最大值函数, 求的原函数为
. 当
时, 有
当
时, 有
所以
的原函数为
.
的原函数.
上,
（4）f （x
）的定义域为
上均为单调递增.
.
,
, 导函数为:
递减; 在, f （x ）递减.
,
故
在定义域上恒正, f （x
）在
.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上,
递增;
.
. 故在
上,
. , f （x ）递增在
上,
f
；
8． 应用凸函数概念证明如下不等式:
（1）对任意实数a , b, 有