当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1． 已知平面上n 个点的坐标分别是

试求一点, 使它与这n 个点距离的平方和最小.

【答案】设所求的点为（x , y ）, 它与各点距离平方和为

由

得

因为

所以,

为S 的最小值点. 因此,

为所求的点.

2． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

所以（2）因为

由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时, 原级数化为发散.

也

故由拉贝判别法可得原级数收敛.

3． 求积分

【答案】而

所以

又因为

所以

4． 己知

【答案】因为

5． 计算下列第二型曲面积分:

（1）（2）

其中

是闭曲面（3）（4）

其中在点x=a的某邻域内连续, 求. , 则

.

其中为锥面的外侧;

, 取外侧;

, 其中是抛物面

,

, 方向取上侧;

其中为锥面有连续导数;

（5）

和球面所围立体表面的外侧, f （u ）具

,

绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右

, 其中是平行六面体

的表面并

其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;

（6）

取外侧, f （x ）, g （y ）, h （z ）为上的连续函数;

（7）

【答案】（1）补充平面公式得

而

所以

（2）闭曲面是由八个平面侧, 由高斯公式得

令

区域在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3）用

表示以原点为中心、

,

则

为半径的上半球面, 取上侧, 取充分小, 使在的内部.

记

的部分, 取下侧,

表示曲面

围成

组成, 其围成的立体为, 取外

, 其中为椭球

的表面, 取外侧.

, 取其上侧,

设与

围成的区域为

则由高斯

为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得