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一、解答题

1． 设函数u=u（x , y ）由方程组u=f（x , y , z , t ）, g （y , z , t ）=0, h （z , t ）=0所确定, 求

【答案】方程组分别关于x , y 求偏导数, 有

和

由和

分别解得

2． 计算

【答案】令

所以

其中

3． 设球体.

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离, 求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用

4． 通过对积分区间作等分分割,

并取适当的点集算下列定积分:

（1）其分割为

,

取

为区间

（2

）

（3）

（4）

, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计

【答案】（1）因在[0, 1]上连续, 所以f （x ）在[0, 1]上可积. 对[0, 1]进行n 等分, 记

的右端点,

得

（2）同（1）, 有

（3）由

.

则

在

上连续知, f （x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n 等分,

记其分割为

, 取为区间

的右端点,

得

（4）同（3）, 取

, 得

5． 应用幂级数性质求下列级数的和:

（1）

（2）

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【答案】

⑴设则

所以

从而

（2）可求得

的收敛域为（﹣1, 1], 设

则

故

从而

6

． 求下列不定积分:

（1）

由于

在

（2

）

时,

上连续, 故其原函数必在

, 当

即

,

因此

,

所以

（2）当当. 由于

在

时, 时,

上连续, 故其原函数必在

上连续可微. 因此,

即

, 因此

. 所以

【答案】（1

）当时

,

连续可微

. 因此