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一、证明题

1． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

所以（5）（6）设

则

于是

故

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由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

1知

在

内有界,

在

内有界,

即

于是, 在某个

内

有界, 故

（7）设

, 则

于是

故 2． 设

在

上连续, 且

证明

则

故则取则因

使得

则

即

使在

上连续,

.

【答案】作因（1）若（2）若

故由零点存在定理知, 存在

二、解答题

3． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

4． 判断积分

【答案】对

有

再由

收敛, 可得

收敛.

的敛散性.

时, 对一切发散, 从而

时

, 对一切

收敛, 又

有

存在, 故

的敛散性.

有发散.

而收敛.

收敛,

而

发散,

5． 求下列函数f 的黑赛矩阵, 并判断该函数的极值点:

（1）（2）

【答案】（1）因为

, 其中

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,

故可知, 的黑赛矩阵

,

的稳定点

所以黑赛矩阵A 是正定的, 故x 0是f （x ）的极小值点. （2）因为

其中

由此可知, 的黑赛矩阵

的稳定点

又

所以黑赛矩阵为不定的, 故x 0不是极值点.

6． 在已知周长为

2p 的一切三角形中，

求出面积为最大的三角形.

z , 则面积【答案】

设三角形的三边分别为x , y ，此

其中因S 与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

从而

又在D 的边界上

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，且因

从而S 在处取得最大值, 因而