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一、证明题

1． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:

【答案】

在

若由于当故当所以

根据柯西准则,

此即表明

2． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且

, 又若

【答案】假设对任意的

, 使与

均有

, 则在（a , b ）上至少存在两点

, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？

f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或

, 这与

矛盾. 故至, 使

发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立,

即应有

在

在则存在

上连续可微, 并且

上连续,

上一致连续, 从而

对任给

上一致连续, 对于且时, 有

时, 有在存在

存在

上也一致连续. 使得

如果

（当

, 时）

内恒正或恒负. 于是,

根据积分不等式性质有

少存在一点

且f （x ）在

假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则

每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有

在两边也异号. 所以

在两边同号,

但

由此知f （x ）在两边异号. 又函数

即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得

矛盾. 故在（a , b

）内至少存在两点, 在（a ,

b ）内至少存在三个零点

假设在（a , b ）内只两点

,

,

使得

, 使得

, 则

下证若则

f （x ）

即

, 且

f （x ）在

每个区间内不变号. 从而由

推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得

即

, 其中

, 所以由上式知,

f x ）从而知（在在

.

考虑函数

内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）

内的符号分别为正、负、正, 故h （x

）在

但

矛盾.

可见在（a , b ）内至少有三个点

3． 设f 为

（1）（2）

上的连续函数, 证明: 在在

上收敛；

上一致收敛的充要条件是

f （1）=0.

上连续, 故

f 在即

在

上有界, 设上收敛, 且收敛于

（2）必要性 由

可得其极限函数g （x ）在充分性

可考虑将因为f （l ）=0, 故当

时,

. 因为 与由于

每个区间内恒异号,

f x ）f x ）两边异号

, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间

正. 又h （x ）是连续函数, 所以

使得

【答案】

（1）因f 在所以

在

分成两部分讨论.

上连续及在

上一致收敛,

上连续, 从而.

又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意存在

当时, 有

故对上述的当n>N时, 任意的

4． 已知

存在N , 当n>N时, 对一切

有

都是可微的,

故

总有在

所以,

上一致收敛.

, 2. 证明:

【答案】因为

故原式成立.

二、解答题

5． 求曲面

【答案】

所以切平面方程为法线方程为

6． 讨论下列函数的连续性:

【答案】（1）当当y=0时, 由由（2）

当x 0为有理数时,

, 则

, 那么

当x 0为无理数时,

, 那么

时, f （x , y ）显然连续.

知, f （x , y ）在点（0, 0）连续.

知, f （x , y ）在点

, 且

,

不连续.

即9x+ y－z －27=0.

即x －3－9 （y －1） =9 （1－z ）.

在点（3, 1, 1）处的切平面与法线方程.