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一、证明题

1． 证明下列函数在x=0处不可导:

（1）（2）

【答案】（1）因为（2）先求

, 当

时,

. 于是

再求

, 当

时,

, 于是

因为

, 所以

在

处不可导.

2． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明:

（1）（2）【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

代入欧拉公式, 得

' ；

, 所以

在x=0处不可导.

二、解答题

3． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

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的质量, 设其线密度为.

4． 设是开集f :为可微函数, 且对任何

, 试证:若

则对一切【答案】因为

由此可知

由条件

, 知

可逆, 又

于是有

.

5． 求下列函数的导函数:

（1）（2）【答案】（1）当x=0时,

故

. 综上所述

,

（2）当当x=0时,

因

, 故f （x ）在

不可导. 因此

6． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B

【答案】方法一:如图所示:

时,

; 当

时,

；

;

'

当

时,

; 当

时,

.

和连接两个端点:起点A

的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长

.

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图

所围图形面积为

方法二:

的面积

的面积

,

即得

方法三:用极坐标. 向径0B 的极角

当

时,

.

|的面积, 其中

又

>

于是

因为

7． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为所以

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为曲线的极坐标方程,

为

所以弧长为

及