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一、证明题

1． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

2． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设

和

为D 上的奇函数,

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

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是D 上的奇函数, 与

是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

则

所以为奇函数.

, 则至少存在一点

. 则

在闭区间

,

使

3． 证明:若f （x

）在有限开区间内可导, 且

.

f x ）【答案】补充定义（在a , b 的值如下:

. , 使得上满足罗尔中值定理的条件, 于是存在一点

4． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

在于是

上有界, 所以存在

即

故

上有界, 则f 在R 上有界.

有

, 必存在惟一整数

使得对任意

对于任意

在R 上有界.

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期, 因而

5． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

, 因为

所以

若

f x ）=0, 等式成立; 若则（即

故

6． 设

射; （2）证明:f 在

【答案】（1）因为

所以

由于

, 故在R 上f 不是一一映射.

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2

. 即

, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式,

, （1）证明:当时, <

.

, 但在R 上, f 不是一一映

2

上是一一映射, 并求

（2）对于即

当且仅当

且

故一一映射, 由

有

根据定理有

, 当且仅当

, 且

, 因此f 在D 上是

二、解答题

7． 设

【答案】

这里max 表示取最大值函数, 求的原函数为

. 当

时, 有

当

时, 有

所以

的原函数为

.

的原函数.

8． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

图

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