2018年聊城大学数学科学学院620数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 判别下列级数的收敛性:
【答案】（1）达朗贝尔判别法, 因为
所以
不存在.
-显然发散.
, 由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用
⑵当a=1时, 级数当0 级数收敛. 当a>1时, 因为 所以根据柯西判别法知级数收敛. 2． 设函数, 的周期为 , 且 试利用, 的傅里叶展开计算 的和数. 【答案】傅里叶系数 由于f （x ）在 上连续, 由收敛定理知对 在端点x=0和令 第 2 页，共 30 页 , 有 处, 其傅里叶级数收敛于 , 有 , 故 . 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 3． 求极限 【答案】因为所以 为正整数, . 从而 4． 应用高斯公式计算下列曲面积分: （1）（2）（3） 的表面, 方向取外侧; （4）（5）【答案】（1） （2） （3） 由柱面坐标变换 原式= （4）原式= （5 ）原曲线不封闭, 故添加辅助曲面 有 5． f （x ）是以 （1）求函数 为周期的连续函数, 其傅里叶系数为 的傅里叶系数 , ; . 其中S 是单位球面其中S 为上半球面 . 的外侧; 的外侧. 其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面 的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h 所围空间区域（ ） （2）利用题（1）的结果证明帕塞瓦尔（Parseval ）等式 第 3 页，共 30 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 【答案】（1）（2）由题（1）得 , 在G （x ）中令x=0, 得 即 6． 求密度为的均匀球面 【答案】因 对于z 轴的转动惯量 , 则 二、证明题 7． 证明:函数 【答案】因为 又由 在 及 故 上连续, 且有连续的导函数. 在 上一致收敛. 在 上连续. 上连续（n=1, 2, …）, 故 在 上连续可知, 则由定理可知 一致收敛且和函数连续. 设 即f （x ）连续且具有连续的导函数. 8． 设 证明:【答案】因 即可. 设即所以故 而 不可能在D 内部取得极值, 在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知 在D 上一定可取得 处 最大值和最小值, 下证在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点 . 对D 内任何点（x , y ）, 由于故 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得. 第 4 页，共 30 页