2018年辽宁师范大学数学学院数学系602数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
对
一致收敛.
【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式
.
（令
对I 1而言, t=0为奇点. 由对I 2而言,
综上可知,
为奇点. 由
在[0, b]上一致收敛.
阶连续导数, 且
在U （a ; h ）内的泰勒公
证明:
f 在U （a ; h ）内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为
式减
式, 得
两边同除以
得
两边取极限得
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）
及及
（b < 1）的收敛性知, I1在[0, b]上一致收敛. （6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.
2． 设h>0, 函数f 在U （a ; h ）内具有式为
【答案】f 在U （a ; h ）内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为
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即
3． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足
（1）（2）
【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是 4． 设
在
上连续, 且
证明
则
故则取则因
使得
则
即
使在
上连续,
.
的一个上界, 而是
只需证
的一个下界, 而是
只需证
因对一切
, 有
有
的最小上界, 故
. 因为对一切的最大下界, 故
证明:
【答案】作因（1）若（2）若
故由零点存在定理知,
存在
5
． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数域
内与【答案】
设续,
所以存在
从而当当
时,
在点
连续, 而且
. 则函数使得对任意 取
时
任取
使得在其上
即
可见在
上与
同号且
6． 证明:若f （x ）在区间
由上可知存在
因为
在点
处连
在点
的某一邻
同号,
并存在某个正数
则存在
r , 使
使得当
时
, 有
上有界, 则
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【答案】记贝!J
.
, 故
, 有, 使
若
M=m, 则
f （x ）为常数, 等式显然成立
. 设m 另一方面 由上、下确界的 定义知, 分别存在 故 , 即 从而由上界确定义知 二、解答题 7． 写出下列级数的乘积: （1 ）（ 2） 【答案】 （1 ）级数 得第n 条对角线和 下面考虑n 的奇偶性 原式（2）因 收敛, 故级数 与 均绝对收敛, 按对角线相乘得 所以, 原式= 8． 设 试证:若 在 则 上连续, 对任意 :收敛. 第 4 页，共 41 页 与级数 在 时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘, =1 有 另外 ,
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