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一、解答题

1． 计算四重积分

【答案】作变换则得

2． 讨论下列无穷积分的收敛性:

（1）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）（5

）当收敛.

当（

时, 6

）

,

故当且仅当

时

.

, 故此时

发散. 对

于收敛.

对于

收敛.

收敛. 否则, 发散.

由

于

时

.

（2） （5）

（3） （6）

由柯西判别法知, , 由柯西判别法知

, 由柯西判别法的推论2知, ,, 由柯西判别法知,

收敛. 收敛. 发散. 收敛.

,

故此时

.

, 其中V :

.

,

由于

, 故当且仅当, n-m>1时, 积分

综上所述, 当且仅当

,

时.

3． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式:

（1）（2）（3）

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【答案】（1）

所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为

（2）因所以

在x=0处的幂级数展开式为

（3）因

所以

4． 设f （x , y ）在区域

其中

【答案】

任取

时, 有

又由, f 对y 满足利普希茨条件, 对上述

取现取

则当

时,

所以f （x , y

）在点

5． 设

处连续, 由点

的任意性知: f（x , y ）在G 内处处连续.

；

.

:

则当

" 时, 有

上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件:

为常数, 试证明f 在G 上处处连续.

对固定的

在X 0连续,

于是对任给

存在

当

而

这

在平面上二次连续可微

,

（1）用u 关于r , 的偏导数表沄

（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）（2）

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6． 设f 为二阶可导函数, 求下列各函数的二阶导数:

【答案】 （1）

,

（2）

（3）

二、证明题

7． 设

收敛. 证明:

收敛（a n >0）.

, 由积分判别法知级数收敛, 由比较判别法知

. 证明:

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

在式（1）中, 若

, 即

再结合式（2）, 问题就解决了. 而对f （x ）在[a, b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（3）成立.

9． 证明:若

（1）

存在且等于A ;

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【答案】因为又

收敛, 所以

收敛, 收敛.

, 使得

8． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

可以看出, 首先应对f （x ）和在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有,