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一、证明题

1． 设n 为整数, 若函数的充要条件是

【答案】方法一 令函数求偏导数得

再由条件

得出

, 这意味着F 只是的函数, 即

或

, 所以

同样得到F 只是的函数.

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

，因为

收敛，所以

从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时

，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛. 上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对

. 证明:

.

, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明

可推得

及

, 当

时,

有

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, 则称f 是n 次齐次函数. 证明:f （x , y）是零次齐次

, 变换把f （x , y）变为, 即. , 由复合

.

作为自变量,

因为

方法二上面复合函数求偏导数时是把x , y 作为自变量,

也可以把

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

3． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在

有

【答案】由由

（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,

所以

对故

, 由b>1可知存在正整数N , 使得, 于是取, 当

时有, 从而

4．

设f 在

【答案】令因此, g 为得在 5． 设

上

上可微,

且

则

上的递减函数. 于是, . 的收敛半径

，令

证明:在

因为.

上

, 所以

, 故

, 由此

，试证明f （f n （x ））在[a, b]上一

致收敛于f （f （x ）），其中[a, b]为任一有限闭区间.

【答案】由题意知，f

（x ）在对任意有限区间[a, b]，由于

在

[a, b]上一致有界，所以

再由f （x ）在

6． 证明公式:

,

这里续函数.

【答案】设S

为球面

, 则有

考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz

共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有

在新坐标系O-uvw 中,

.

, .

.

,

, f （t ）在

时为连

上一致连续，于是有

在[a, b]上一致收敛于

.

上连续，

一致收敛于f （x ） .

在任意区间内是一致收敛的，

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为: 则dS=dudw, 从而

二、解答题

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7． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性:

（1）（2）

【答案】 （1）

因所以由

（2）（1）

时,

故设从而

（ii

）当故所以

由上可积. 8． 设

存在,

则

即

求

f x ）可知（在

上连续、可微, 在任意有限区间

在

. 则f （x ）在

上不连续, 又

上可积.

在

上连续,

上不可微,

, 故

的极限函数f （x ） =0可知f （x ）在[﹣1, 1]上连续, 可微且可积.

上不一致收敛. 由f （x ）不连续可得, f （X ）在时,

显然f （x ）在任意有限区间

【答案】由令

对x 求导, 有

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