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一、证明题

1． 设f 在

【答案】由即f （x

）在可得.f （X ）在

上连续, 且

, 证明

, 当x>X时, 有

上连续知, f （x ）在分拆成两项

其中第一项当

时必趋于零. 事实上

对第二项使用第一中值定理, 存在由于

时

,

, 所以

, 使

, 从而

故证得

2． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由

1知

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从而

上有界. 综合上面

知, 对于数1, 存在内有界, 又由f （x ）在上有界. 设

, 将

由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

在

内有界,

在

内有界,

（4）因为

所以（5）（6）设

则

于是

故

（7）设

, 则

于是

故

3． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在, 且在（0, 0）点可微, 证明:

, 【答案】因为f x , f y 在（0, 0）点可微, 所以两个混合偏导数相等. 由于

因此

其中

.

注意到f x 在（0, 0）点可微, 我们有

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即

于是, 在某个

内

有界, 故

, . , 都存在. 下证:

和

其中

是（

）→（0, 0）时的无穷小量,

是

时的无穷小量.

令

4． 证明对任意自然数n ,

方程

. 【答案】令

因此, 由连续函数的零点定理知, 又从而

在

上存在惟一的零点, 即方程.

.

.

在

则

上有零点.

所以

在

上单调.

在区间

上总有惟一实根X n ，

并求

, 则

, 故有

. .

将式（2）、式（3）两式代入式（1）可得

在区间[0, 1]上总有惟一实根对

5． 证明:若函数

则对【答案】令有

于是, 对任给的

在区间

两边取极限得

内二阶可导, 且对

有

将

与

在点作泰勒展开,

有

有

6． 按定义证明下列极限:

（1）（4）

（2）（5）

由

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（3）

【答案】（1）对任意给定的