2017年长春工业大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到五个房间中的任一间中，试求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率.
【答案】“三个人分配到五个房间”的所有分法数为房、都在四号房、都在五号房，共5种可能. 所以
（2）若事件B=“三个人分配到不同房间”发生，则第一个人可分配到五个房间中的任一间，而第二个人只可分配到余下的四个房间中的任一间，第三个人只可分配到余下的三个房间中的任一间. 因此事件B 有
种可能，所以
注：可将此题看成是3个（可辨的）球放入5个（可辨的）盒子中的盒子模型.
2． 设能获得
是取自均匀分布总体作为的无偏估计.
则
从而
可见
不是
的无偏估计量. 由
解之得
因而
是
的无偏估计量. 记
为样本相应的次序统计量，于是
有
【答案】
令
的估计量，问
的一个样本，若分别取
是否为
和
这是分母.
（1）因为事件A=“三个人都分配到同一个房间”包括：都在一号房、都在二号房、都在三号
的无偏估计量？如果不是，如何修正才
3． 设
【答案】因为
独立同分布, 且都服从. 的特征函数为
分布, 试求的分布.
的特征函数为
所以由诸的相互独立性得
,
这正是正态分布
4． 设
的特征函数,
所以由唯一性定理知
是来自指数分布的一个样本，对如下检验问题：
是来自另一指数分布的一
个样本，且两样本相互独立，若设
在显著性水平为的场合给出拒绝域.
【答案】由于指数分布是特殊的伽玛分布，具体是于是
同理可得在原假设检验拒绝域
为
在给定显著性水平
由两样本相互独立可知
成立下，有
从而有或
可查表得
譬如，若两样本量与样本均值分别
从而得拒绝域
或
如令
它不在拒绝域内，故不能
拒绝原假设.
5． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当
时，
当x>0.5时，
所以X 的分布函数为
（3）所求概率为（4）所求概率为
6． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子, 记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证m/n与p 的差异小于0.01的概率大于95%.
【答案】因为
, 所以
根据题意有
由此得
查表得
因为
所以当
时, 必可满足要求, 因此至少抽9604个成年男子,
小于0.01的概率大于95%. 标准差是之间的概率的下界.
试利用切比雪
可使其吸烟频率m/n与实际成年人中吸烟率p 的误差
7． 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是夫不等式估计每升血液中的白细胞数在
至
【答案】记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知
所以由切比雪夫不等式得
8． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？
【答案】设共需要n 门高射炮，
记事件
而
由此得击中飞机.
为“第i 门炮射击命中目标”，i=l，2，…，n.
则
两边取对数解得所以取n=13，可以有99%的把握