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一、计算题

1． 设总体4阶中心矩

存在, 则对样本方差

, 有

其中

为总体X 的方差.

并以

简记从1到n 的求和, 于是

由于诸间相互独立, 且

所以,

故

2． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：

（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则

（1）

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【答案】为书写方便起见, 记

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个，所有可能为

这是分若记Y

母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

（2）

3． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为

表

试求联合分布列中的a , b , c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:

表

由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:

由此得c=1/6.

4． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的.

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从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性

的似然比检验.

分别为的MLE , 而在上为u 的

在（0, 1）区间内单调递增，在（）上单调递减，于

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方

5． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率.

【答案】记事件A 为“有一件是合格品”，B 为“另一件也是合格品”.因为P （A ）=P（取出一件合格品、一件不合格品）+P（取出两件都是合格品）

P （AB ）=P（取出两件都是合格品）=于是所求概率为

6． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：

在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为

而

因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.

由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

7． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内

（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.

【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）

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，则要检验的假

由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是

检验的拒绝域为

则由于u=—2.1落入拒绝域，故