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一、解答题

1． 计算下列第一型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

【答案】（1）

（2）右半圆的参数方程为

从而

（3）

-

（4）由于圆的参数方程为从而

（5）

（6）

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其中L 是以0 （0, 0）, A （1, 0）, B （0, 1）为顶点的三角形; 其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; 其中L 为椭圆其中L 为单位圆周

. 其中L 为螺旋线

, 其中L 是曲线

, 其中L 是

,

,

与z=y相交的圆周.

在第一象限中的部分;

的一段;

的一段;

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（7）其截线为圆

2． 若

【答案】由

其参数方程为

9

, 计算

知

3

． 把

其中f （u ）为连续函数.

【答案】令

由于

所以

4． 根据定义叙述在某个

内有定义, A 为定数. 若存

的x , 使得

, 总存在满足不等式

不以益为极限, 记为

上的n （

）重积分

化为单重积分,

..

则

【答案】这个命题的叙述为

:设函数f 在点

的某个空心邻域

便得对任意的正数则称当

时,

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共

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5． 求曲线.

【答案】切向量

, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.

所以切线方程为

或

6． 计算曲线积分

其中L 为圆周:

L 的方向是:从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

二、证明题

7． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:

（1）设（2）设（3）设（4）设可导.

而题设矛盾.

（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.

如取在

不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.

, 则

在

可导

.

（狄利克雷函数）, 则

处处可导.

但

与

, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.

,

, 则

, f （x ）在

处

在x 0=0处都不可导.

在x 0也可导. 这与

【答案】（1）命题错误. 如取

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则

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