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一、证明题

1． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真.

【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使

其中

c

为G 的边界, 设

2

①

由

知:对任意, 使

②

这与以上结论矛盾.

其

,

则且

中G 为G 的余集即关于R 的补集. 由于

下证

若不然, 则存在

由于

从而

因此②真, 由①知

于是当

从而存在

充分小时, •

中含有G 的点Q , 于是

故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点, 则（2）例如

或

2． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数

在（0, 1）内连续.

【答案】这表明

令

得在式（1）中, 令

. 得

所以

, 即

.

由

可知, 对

有

, 因此D 为闭集.

是闭集, 但不是闭域. 与

在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）

, 即

都存在. 又由

知对

, 有

.

由式（2）、式（3）知, 连续.

由

3． 设

. 类似地可证:, 从而f （x ）在点

的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.

并且对于任何

, 则有

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有常数, 证明

【答案】设

对上式两边同时求导, 得

即

于是对两边取转置又得

.

二、解答题

4． 将函数

在

上展开成余弦级数.

的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在

上

5． 求下列函数的傅里叶级数展开式:

（1）（2）

为周期的连续奇函数, 故

由收敛定理

（2）f （x ）是以

为周期的连续偶函数, 故

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【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为

【答案】（1）f （x ）是以

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由收敛定理

6． 计算

【答案】由分部积分公式有

于是有

而

故

7． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛, 则求其值:

（1）（4）

（7）

【答案】（1）

（2）

第

4 页，共

28

页

.

; （2）

（5） （8）

（3）

;

（6）

; ;