当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1． 设有一质量分布不均匀的半圆弧

求它对原点（0, 0）处质量为m 的质点的引力. 【答案】设引力系数为k , 则对任一点（x , y ）, 有

故

且

2． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.

【答案】

假设存在, 使得对一切

故必在D 上f （x , y ） =0. 3． 设

【答案】由又

计算积分

而

收敛可得级数

在[﹣1, 1]上一致收敛.

,

使得

,

有

.

不妨设

则

. 由连续函数的保号性知:

存在, 与已知

矛盾.

上有

, 则在D 上

, 其线密度

（a 为常数）,

在[﹣1, 13]上连续, 从而由定理知

4．

在区间Riemann 可积性.

【答案】f 于（1）显然知（2）f 的间断点为

上是Riemann 可积的. 证明如下:

第 2 页，共 33 页

上,

函数

定义为试讨论f （x ）在[0, 1]上的

（3）对于上的任意分割记对应的f 的振幅为则

当综上

在

充分小时,

上Riemann 可积.

5． 用极坐标计算下列二重积分

（1）（2）（3）（4

）

【答案】（1）

（2）应用极坐标变换后积分区域

从而

（3）原积分=（4）

6．

问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）:

（1）

（2）

, 由此可见,

由于（2）原式

三个量都非整数, 从而原式不可积.

第

3

页，共 33 页

, 其中其中

, 其中

D 为圆域

, 其中

D 为圆域

.

【答案】（1）原式

由此可见

由于

7． 求a , b之值, 使得椭圆

【答案】椭圆的面积

包含圆

, 且面积最小.

. 欲使S 最小, 必须要求

. 先求a , b 所满足的约束条件

三个量都非整数, 从而原式不可积.

椭圆与圆相切, 在切点处纵坐标y 值和斜率值应相等, 即

从式（2）中解出构造拉格朗日函数

由

解之可得:

, 代入式（1）可得:

由于实际问题存在最小值, 所以这唯一的极值点必是最小值点, 最小值 8． 设

0, 求由平面

所界平行六面体的体积. 【答案】令

则

所以平行六面体体积

第 4 页，共 33 页