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一、证明题

1． 证明函数

【答案】因为

（x ）

在[0, 1]上的不连续点是故可积.

因此, 存在现设

设

于是有, 使对

的任何分法, 只要

是, 又显然有

所以f （x ）在[0, 1]上可积.

2． 证明:若

为

上的连续函数, 且对一切

对任意

.

上连续, 所以

在

有

上存在最大值M.

有

=0. 则f （x ）

其中

的满足1

就有

的任意分割.

因此,

.

. 任给

f x ）, 由于（在

上只有有限个间断点,

在[0, 1]上可积.

, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]

的任何部分区间上的振幅

【答案】

显然

而

在

对于上面的, 有

其中

依次进行下去, 可知存在当又

对一切

时, 有连续, 所以

有

所以

使得

3． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

收敛, 即

与

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

与都绝对收敛, 则在[a,

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛, 得

收敛, 从而

在[a, b]上一致

在[a, b]上绝对且一致收敛.

二、解答题

4． 设

【答案】归纳法易知

即

求

有上界, 然后又因为

所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设

5． 函数

在

上的拉格朗日中值公式为

求当

时的极限值.

其中

且

是与

对

极限存在.

解

得

即

两边取极限

得

及x 有关的量, 对

【答案】

解得

由洛必达法则

由

6． 为了使计算出球的体积准确到1%, 问度量半径为r 时允许发生的相对误差至多应为多少?

【答案】球的体积公式为由

得

, 解得

, 于是

.

. 即测量半径r 时允许发生的相对误差至多

. 应为

7． 求下列幂级数的收敛区间:

（1）（2）

【答案】（1）记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为（﹣1, 1）. （2）令

, 则原级数变为

. 记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为

8． 求下列极限:

（1）

（2）

, 即

-或

.

【答案】（1）该极限是””型的不定式极限, 利用洛必达法则有

（2）该极限是

“”型的不定式极限, 利用洛必达法则有

9． 确定下列初等函数的存在域:

（1）（3）【答案】（1）（2）由

得

故（2）（4）

的存在域为R.

的存在域为