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一、计算题

1． 设随机变量Y 服从参数为

的指数分布，定义随机变量X 如下:

求和X 2的联合分布列. 【答案】

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

表

2． 设二维随机变量与Y 的协方差及相关系数.

【答案】因为区域D 的面积为

所以

的联合密度函数为

由此得X 和Y 各自的边际密度函数为 当当这表明

时，时，

由此可算得X 与Y 的期望与方差

服从区域上的均匀分布，求X

另外还需计算XY 的期望

由此得X 与Y 的协方差及相关系数为

3． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点:

【答案】

4． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位:m/s）如下:

据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设

分别为

在显著性水平为下，检验的拒绝域为经计算得

，

可以判断这批枪弹的初速有显著降低. 关于本题说明一点:本题中的一对假设另一对假设

这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为

是的减函数，因而要求'

与要求

等价，从而两个检验问题的拒绝域完全

，

的检验与

的检验有完全相同的拒绝域，

，若取

查表知

.

，此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，

）？

，

待检验的原假设矾和备择假设

【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体

（单位:m/s）. 经过较长时间储存，取9发进

，

一致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.

5． 设，求a 和

【答案】

的联合密度函数为:

的UMVUE.

设即

将

式两端对a 求导，并注意到

有

这说明于是

I

又我们将

，从而

式的两端再对a 求导，得

是a 的UMVUE.

，即

是0的任一无偏估计，则

由此可以得到

，下一步，将

式两端对

求导，

略去几个前面已经指出积分为0的项，有