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一、计算题

1． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为

且误差方差的无偏估计为（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；

（3）若腐蚀时间x=870, 试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】 （1）由已给条件可以得

到

把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算

表

，因

此

，总偏差平方和为0.1246. ，列出方差分析表；

若取显著性水平回归方程检验的p 值为

，则因此回归方程是显著的，此处，

这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数

（3）若腐蚀时间x=870, 则y 的预测值为

其0.95近似预测区间的半径为

从而y 的0.95近似预测区间为

2． 某地区18岁女青年的血压X （收缩压，以青年的血压在100至120的可能性有多大？

【答案】

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计）服从

. 试求该地区18岁女

其中

3． 设二维连续随机变量

是用内插法得到的.

的联合密度函数为

试求

当

时，

由此得

4． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

. 而当k ≥ 1时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

所以

【答案】先求条件密度函数

（3）再计算前四阶中心矩:

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（4）最后计算偏度与峰度

由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现:①在区间

布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间正态分布更尖峭.

5． 设随机变量

【答案】因为

所以

6． 某产品的合格品率为至少有100个合格产品.

【答案】设包装箱中装有n 个产品，其中合格品数记为X ，则有

成立. 利用二项分布的正态近似，可得

查表可得

由此解得产品.

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内，

外

，

此时二项分

此时二项分布是对称的，且比标准正态

，此时二项分布比标准

中任意两个的相关系数都是试证:

由此得

的可能性使每箱中

下求n ，使

问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有

即每箱装有104个产品，能有的可能性使每箱中至少有100个合格