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一、计算题

1． 设随机变量

相互独立、同服从

则

相互独立的充要条件为是其协方差为0, 即为

. 实际上

这表明:U 与V 相互独立的充要条件是

2． 设二维随机变量

在矩形

上服从均匀分布，记

求U 和V 的相关系数.

【答案】因为区域G 的面积为2, 所以

的联合密度函数为

因此（如图）

其中诸与均为实数. 如今已知

故

的充要条件

【答案】由于正态随机变量的线性组合仍为正态变量，而两个正态变量相互独立的充要条件

图

这说明:

所以

又因为

所以U 和V 的相关系数为

3． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求:

（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；

（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.

【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-l+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为

（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，

此种样本点共有

，考虑到球不可辨故

（2）记

为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述:

种取法.

第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有

第二步，将n 个球放入余下的N-m 个盒中，且这N-m 个盒子中都要有球，这当然要求n ≥N-m （或m ≥N-n ），否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个球排成一行，随机抽取球与球之间的n-l 个间隔中的N-m-l 个间隔放火柴棒即可，这有

综合上述两步，所求概率为

（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j

种可能.

个球，由类似于样本点总数的计算知:j 个球放入m 个盒子中共有球放入余下的N-m 个盒子中有

种放法，于是所求概率为

种放法，而另外n-j 个

4． 设以下所涉及的数学期望均存在，试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

5． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得

6． 设X 与Y 相互独立，分别服从参数为和

【答案】因为

所以

这说明:

服从二项分布

其中

所以

又由（1）知

知

所以有

的泊松分布，试求