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一、计算题

1． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求

【答案】一般正态分布满足关系式:

2． 设

试证

为枢轴量，其中k 为已知常数: 【答案】因为

，故

其中

是自由度为n-1的非中心t 分布，其非中心参数

为已知常数. 又

所以

的分布与

无关，即为枢轴量.

的p 分位数. 所以

为抽自正态总体

的简单随机样本. 欲估计

间

与标准正态分布的p 分位数

3． 在研宄某种新措施对猪白痢病的防治效果，获得了如下数据:

表

试问新措施对防治该疾病是否有显著疗效表示防治效果，它也有两个水平:表示存活，

统计表示如下:

此列联表独立性检验的统计量可以表示成

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？

表示对照组，

表示新措施组，用B

表示死亡. 检验的假设为

【答案】用A 表示有无使用新措施，它有两个水平::新措施与防治该疾病无关系，即A 与B 是独立的.

此处

故拒绝原假设，即认为新措

施对防治该疾病有显著疗效. 此处的p 值为

4． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？

【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为

表

1

所以E （X ）=12500元，比一年后购买（市值为10000元）大.

如果一年后购买，记Y 为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1=10000股或10000/4=2500股，所以Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=5000+1250=6250（股），比现在就购买（5000股）多. 因此，理财顾问的建议是正确的.

5． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求与的无偏估计.

可分别用来估计与，但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

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这表明:把

与

与

不是与的无偏估计，但做恰当修正后，可获得与的无偏估计.

或

再使用加减消去法，即可得与的无偏估计分别为

6． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位:m/s）如下:

据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设

分别为

在显著性水平为下，检验的拒绝域为经计算得

，

可以判断这批枪弹的初速有显著降低. 关于本题说明一点:本题中的一对假设另一对假设

这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为

是的减函数，因而要求'

与要求

等价，从而两个检验问题的拒绝域完全

，

的检验与

的检验有完全相同的拒绝域，

，若取

查表知

.

，此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，

）？

，

待检验的原假设矾和备择假设

【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体

（单位:m/s）. 经过较长时间储存，取9发进

两式相加与相减可得

一致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.

7． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有

，且

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. 则