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一、证明题

1． 设级数

证明：当下极限发散.

，

即

由比较判别法知级数

收

时，级数

收敛；当上极限

时，

【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.

(2)

由

比较判别法知，级数

2． 设a ，b ，

【答案】由于当

时，原不等式化为

(

当n 足够大时，发散.

即由

表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

上式等价于

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

3． 设函数f (x ，y ) 在点

(1) 试证：存在

的邻域(2) 试证：得

的邻域内二次连续可微，且

使对任何

能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;

【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使

(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，

在点又

由

时

(2) 由定义及f 在点

的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在

可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满

足及其连续性知，存在充分小

的g (y ) =f(x (y ) , y ) .

的可微性，有

其中1

1时注意到

因此

是有意义的). 及

有界，由式(1) 可知，

4． 设f 为R 上连续函数，常数

记

【答案】f 在R 上连续. 答:(1) 证法一，因为

而f (x ) 、c 连续，由连续函数的代数运算知，F (x ) 在R 上连续. (2) 证法二，设

则u (x ) 处处连续，又因为f (x ) 连续，由连续函数的运算法则知，复合函数是连续的.

(3) 证法三，直接用连续函数的定义证明.

设

所确

定的隐函数x=x(y ) , 使得

由已知条件，方程点

的某个邻域内由方

程

使

当

. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即

(因为x=x(y )

在的小邻域内连续，所以当

也

时，显然F (x )

在连续. 当

时，

设时若因此当对

则

且

由F (x )

的定义知

所以所以

因为f (x )

在

若

连续，

所以

则

当

时，总有

同样可得，故

在连续.

二、解答题

5． 研究函数

【答案】

处的各阶导数. 故

在

处连续

.

于是

一阶导数

于是

即二阶导数

因为

6． 设

试讨论它在(0，0) 点处的连续性. 【答案】设

则

所以

当故当

即

1时

因此

在点(0, 0) 处连续.

时

所以三阶导数不存在，并且当

时

都不存在.