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一、证明题

1． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

在使得因

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

2． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的

使从而

3． 设可微函数列

对意

且m 个小区间上收敛，所以对于点

对任意

必存在某小区间

因为

收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以

在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

在

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

令

则

且

均有

分别为

在

上的上、

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛. 在

在

在

上收敛

，上作分割

的区间长度

存在N , 使得当使

满足

时，对任意

有

在

上一致有界，证明：

对一切

在

上一致收敛.

均有

【答案】依题意

，

上一致有界，

故存在

及任意

因为(/»:在

由微分中值定理，可得

即对任意从而

在

存在N , 当]上一致收敛.

且f 在上有界，则由

从而，

证明对所有

至多除有限项外在上是一致有

在上一致有界. 存在N , 当

故

存在

当

时，

除前

可得，对于有

时，对任意.

，有

4． 证明：(1) 界的；(2) 若

【答案】(1) 不妨设对一切的

(2)

因 均有

故当又对每个

令.

时，对所有

有

均有

面N 项(有限项) 外是一致有界的.

由柯西准则知，

对任意正数

时，

对所有

且对每个正整数II

，在上有界，则

则对所有正整数N 及对一切

均有

即

在上一致有界.

在上有界，特别地，

二、解答题

5． 求曲线

【答案】曲线质量为

6． 试作下列函数的图像：

（1）（4）

（2）,

（5）

（3

）

的质量，设其线密度为

.

【答案】各函数的图像如图1〜图5所示

.

图1 图2 图3

图4 图5

7． f (x ) 是以

(1) 求函数

为周期的连续函数，其傅里叶系数为

的傅里叶系数

(2) 利用题(1) 的结果证明帕塞瓦尔(Parseval ) 等式

【答案】⑴(2) 由题(1) 得

在G (x ) 中令

得

即

8． 证明施瓦茨不等式：若

和

在

上可积，则

【答案】

因为

所以

若

则即

故

9． 求下列不定积分：

即

等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，

于是有判别式