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一、证明题

1． 设的点集D ,

【答案

】

在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为

在D 上一致连续. 证明复合函数

因

为只要有又

在E 上一致连续。

使得对一

切

在E 上一致连续，于是

对上述

的

当

故复合函数

2． 证明：若函数f , g 在区间

【答案】令于是，F (x ) 在

3． 设则必是则存在一点

使

取

上严格递增，故当

对一

切其

中

时有

在E 上一致连续. 上可导，且

则

时

即

则在

内有

只

要

从而

就

有对一

切

在D 上一致连续，所

以

平面上

在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。

证明：若是的极大(小) 值点，

在I 上的最大值点，

在

【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是

使得

(

不妨设则当

上存在最小值m 。

因为

而是

时，

) 。由连续函数的最大最小值定理知

，

的一个极大值点，所以存在

即是

的一个极小值

点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。

4． 设试证：数列的聚点全体恰为闭区间

【答案】

. 下证

是数列

的一个聚点。

不含有数列

(反证法) . 假设x 0不是数列

的聚点，则存在

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的任意一项. 这里

因

为

对

则一定有

矛盾. 于是必有一个聚点。

所以存在自然数来说，

或者

如若不然，则有

N ，

当或者

于是

时，

有

这是因为

.

这与

的即

不妨设

这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列

二、解答题

5． 求极限

【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量，即令

显然，f (x ，y ) 在

上连续，由连续性定理，有

6． 讨论

【答案】①连续性：

在(0, 0) 点的连续性和可微性.

从而连续. ②可微性：

显然不连续；同样

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不连续. 故不可微.

7．

求圆的渐伸线

与终点.

【答案】方法一：如图所示：

和连接两个端点：

起点

的直线段AB 所围成图形的面积，并求渐伸线的弧长

图

所围图面积为

方法二：

的面积

即得

方法三：用极坐标. 向径

的极角

的面积，其中

又

于是

因为

8． 计算第二型曲面积分

(1)

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的面积

为曲线的极坐标方程，为

. 所以弧长为