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一、证明题

1． 设为连续函数，证明：

【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，应作代换

则

(2)

令

则

从而

由此得

2． 设f (x ) 在

(1) (2)

设(3) 若条件改为【答案】(1)

由界. 根据单调有界定理

(2)

设因此

由于f 在

时

所以由

可推出

知，

数列为收敛数列.

上连续，对

两边取极限，得

上连续，

满足则有

则

|知，数列

有

为递减数列. 由

设

证明：

于是有

为收敛数列；

(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.

因为当

3． 设函数f 在

【答案】由是区间

上满足方程

知，对任给的因为

再由的任意性知，

4． 证明函数

【答案】令

在因此

所以

且

证明，

时

由

设得

有

存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得

中的任一数，由于

由的任意性知，对所有的

上连续.(提示：证明中可利用公式

据，所以

为积分下限函数是

的连续函数，所以

在

上连续.

二、解答题

5． 取y 为因变量，解方程

【答案】由上题启发，z=z(x ，y ) 中把x ，y 看成自变量，对x 求偏导数，得

解出

再对x 求偏导，得

将

代入上式，有

利用条件得

出

6． 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：

【答案】(1) 设

对求偏导数，并令它们都等于0, 则令

解之得

由于当(2)

设

-时，

故函数必在惟一稳定点处取得极小值，极小值

.. ，令

和y 取为因变量以及隐含条

件

所

以

由此解

出

解方程组得

小值也是极小值，所以极小值

(3

)

处取得最

由于当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，故f 一定在惟一稳定点

解方程组得x , y , z 的六组值为：

又

因此极小值

在有界闭集上连续，故有最值.

极大值

7． 求密度为的均匀球面

【答案】因

则

对于z 轴的转动惯量