2017年长春工业大学基础科学学院710数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设
在
【答案】构造辅助函数由于使得整理得
)
由于
2． 1) 证明瑕积分
2) 利用上题结果，证明：
(提示：利用【答案】1) 由于则有
故
于是
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上连续，
在内可导
，证明
:
使
则由罗尔中值定理得，存在
从而函数单调
，从而原式成立.
注：本题还可以用上下确界的方法做.
收敛，且
并将它们相加. ) 所以瑕积分
收敛. 同理，
也收敛.
令
2)(1) 令
则于是
故有
(2)
3． (1) 证明若
(2) 若取
则当
(2) 不一定成立. 例如，取
则
这时
4． 证明公式：
这里数.
【答案】设S 为球面
则有
考虑新坐标系
它与原坐标系
共原点，
且
平面为
坐标系的平面
，
轴过原点且垂直于该平面，于是有
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存在，则存在，试问是否成立
，则对任给的
时，
有
存在于是
，
使得当
时，
，
即
故
【答案】(1) 设
存在，但不存在.
在时为连续函
在新坐标系
中，
则
从而
这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：
二、解答题
5．
求
度，并求梯度为零之点。
【答案】因为在点在点因
令
解之得
6． 设
【答案】
7． 设
【答案】
试问在怎样的点集上gradu 分别满足：
即
(2) 若gradu 平行于z 轴，则
即
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在点
所以：
在点
处的梯
因此使梯度为零之点为
试按
的正数幂展开
(1) 垂直于x 轴；(2) 平行于z 轴；(3) 恒为零向量. 由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是(0, 0, 1) , 故