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一、证明题

1． 利用施瓦兹不等式证明：

(1) 若在(2) 若在

上可积，则

上可积，且

则

(3) 若

都在

上可积，则有闵可夫斯基

不等式：

【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有

(2)

由有

(3) 由施瓦兹不等式，得

可积，且

知

可积，从而

可积，于是根据施瓦兹不等式，

故

2． 设在

【答案】令因此，g 为在

上

上可微，且

则

上的递减函数. 于是，

证明

【答案】对任意的

有

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证明：在因为.

上所以

故

由此得

3． 设f 在区间I 上有界，记

于是有

即

故

设为任意正数，则存在于是有

故

4． 设f (z ) 是在

⑴数

【答案】

即这里

由比值判别法知

绝对收敛.

⑵绝对收敛.

内的可微函数，且满足：

其中

任取

定义

证明：级

使得

二、解答题

5． (1) 求

(2)

求(3)

求【答案】(1) 任意相乘，记

则有

其中

点的幂级数展开式；

的和； 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可以

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即得

(2)

对

展开的幂级数，用阿贝尔引理得

(3

)

6． 求由下列曲线所围的平面图形面积：

【答案】⑴令

故

从而

x+y=a变换成(2) 令变换成

即

所以曲面面积为

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变换成

从而方程

变换成变换成

所以图形面积