2018年东北大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设回归模型为
’现收集了15组数据，经计算有
后经核对，发现有一组数据记录错误，正确数据为（1.2, 32.6）, 记录为（1.5, 32.3）. （1）求（3）若
修正后的LSE ;
作修正，修正后的量分别记为
根据修正后的数据可计算得到
的LSE 为
（2）利用修正后的数据可计算三个平方和为
因而检验统计量查表知
拒绝域为
，若取显著性水平，由于检验统计量落入拒绝域，
这是一个非常小的概率，说明回归方程显著性很高. （3）对于
其对应相应变量的预测值为
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（2）对回归方程作显著性检验
, 给出对应响应变量的0.95预测区间.
则
【答案】 （1）由于有一组数据记录错误，应将
因此回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p 值为
而
，查表知
.
因
此
响
应
变
量
的
0.95
2． m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-l 个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.
【答案】设事件为“第i 次传球时由甲传出”，记
所以由全概率公式
得递推公式
将P1=1代入以上递推公式可得
特别，当
时，有
. 譬如m=5, 则
，
最后
3． 设
是来自
的样本，问n 多大时才能使得因而
所以立.
4． （1）设然估计量.
【答案】 （1）
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预测区间
为
，则，且
成立？
【答案】样本均值
这给出即n 至少为62时，上述概率不等式成
, 即X 服从对数正态分布, 验证; , 求
的最大似
（2）设自（1）中的总体X 中取一容量为n 的简单随机样本
（2）的密度函数为
设
则似然函数为当
是相应于
时,
的样本值,
, 且
令, 解得的最大似然估计值为
从而得到的最大似然估计量为
故E （X ）的最大似然估计量为
5． 设数为
是来自均匀分布
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函
，其中与是两个已知的常数.
（1）验证:帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）要使
与
与的联合分布为同时成立，必须’
，所以的后验分布为
，
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
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