2018年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为 2． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
的泊松分布.
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
3． 证明:若
由此写出独立，
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
与
则当
其中
且v 与W 相互
时有
是充分统计量.
【答案】由F 变量的构造知
不存在.
从而可得当
时，只要
就有
在其他场合，
当
时，只要
就有
4． 设
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
5． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
6． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
7． 设
的特征函数为分别是
所以
故
是实的偶函数.
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
先证充分性. 若
是实的偶函数，则
又因
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
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