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一、证明题

1．

设

为一事件域，若

，故其对立事件

.

试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算

（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.

. 所以，所以，所以

，由，由

，由（3）（有限交）得，

.

【答案】（1）因为为一事件域，所以

，其中

2． 对任意的事件A , B ，C , 证明:

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

3． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

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.

9

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

常记为

时，记Y=X, 试证

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

这正是参数为为

（2）当所以

的柯西分布.

时有

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

服从参数

由于当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

4． 证明:若明:

的特征函数为

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布. 与

是未知参数

的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

几乎处处成立.

它也是的相

是0的无偏估计，则已知

由此立即可得

5．

设总体

【答案】令

，则

几乎处处成立，即

是样本

，的矩估计和最大似然估计都是

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

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对上式求导易知，当

时上式达到最小，最小值为

，它小于的均方误差

.

6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数，由唯一性定理知

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

7． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且

.

证明:【答案】由所以得 8． 设分统计量.

【答案】由几何分布性质知，

其分布列为

在给定

后，对任意的一个样本

有

是来自几何分布

的样本，证明

是充

. 进一步由

得

得

.

又因为

，

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

个

和个

譬如

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这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个