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一、证明题

1． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时，记Y=X, 试证

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

这正是参数为为

（2）当所以

由于

当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

的特征函数为

的柯西分布.

时有

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

服从参数

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.

，且

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2． 设事件A ，B ，C 的概率都是

，证明:

【答案】因为

上式移项即得结论.

3． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

4． 设

证明:

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

服从大数定律.

的独立性可得

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

5． 证明:若

由此写出独立，

因此F 变量r 阶矩为

由

与

则当

其中

时有

【答案】由F 变量的构造知且v 与W 相互容易算得

不存在.

从而可得当

时，只要

就有

在其他场合，

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当

时，只要

就有

6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证. 7． 设总体X 服从于证明：

【答案】由X 服从又则

又故 即证

是

的无偏估计量.

, 且分布、是

的无偏估计置.

其中分布可知, 是

的无偏估计量

为总体的样本,

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

8． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

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先证充分性. 若是实的偶函数，则又因