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2017年南京大学2102概率论与数理统计复试仿真模拟三套题

  摘要

一、计算题

1. 某种圆盘的直径在区间(a ,b )上服从均匀分布,试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径,则圆盘的面积为

所以平均面积为

2. 对一批产品进行检查,如查到第a 件全为合格品,就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大,可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件?

【答案】设每批要查X 件,记q=l-p,则X 的分布列为

所以

3 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为.求

【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出

譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入

)就表示自由度为

4. 设随机变量X 满足

【答案】由,

的F 分布在x 处的分布函数.

已知

及题设条件

从中解得

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则有, 于是.

则给出0.0798,

这里的

试求

5. 设随机变量X 服从正态分布N (10,9),试求

【答案】一般正态分布

所以

间满足关系式

的p

分位数与标准正态分布的p 分位数

6. 设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为

求E (X ), E (Y ), Cov (X , Y ). 【答案】

7. 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌,若在一场测试中,他共作了10次预测,报对8次.

(1)在显著性水平0.05下,能否相信他具有这种能力? (2)对什么样的显著性水平,可相信他具有这种能力?

【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力,则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力,则他胡乱猜测也有50%猜对的可能,现以X 表示他预测10次预测正确的次数,则

要检验的一对假设为

若拒绝原假设,则可相信该人有预报能力,否则不能相信他有预报能力,由于检验拒绝域形如

故检验的p 值为

对此p 值作一些讨论:

(1)由于检验的p 值大于显著性水平

对具体可算出

故应不拒绝原假设,不能相信他具有预报未来

的值,如

可见随着的增加,犯第二类错时拒绝原假设,譬如,若取

股市的涨跌的能力,在不拒绝原假设时可能犯第二类错误,犯第二类错误的概

类似可算得误的概率在变小.

(2)我们知道,当p<α时应拒绝原假设,因此,当

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因为则拒绝原假设,可相信他有这种能力.

8. 设总体概率函数如下,是样本,试求未知参数的最大似然估计.

(1)(2)(3)

【答案】(1)不难写出似然函数为

对数似然函数为

将之关于求导并令其为0得到似然方程

解之可得

而故

的最大似然估计.

(2)此处的似然函数为

它只有两个取值:0和1,为使得似然函数取1,的取值范围应是而的最大似然估计可取

(3)由条件,似然函数为

要使

尽量大,首先示性函数应为1,这说明

的最大似然估计应为

其次

要尽量小,

中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.

综上可知,的最大似然估计应为

二、证明题

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