2017年南京大学2102概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设一个单一观测的样本x 取自密度函数为平p （x ）的总体，对p （x ）考虑统计假设：
若其拒绝域的形式为试确定一个c ，使得犯第一，
二类错误的概率满足
并求其最小值. 【答案】由因此，当
时.
，
并且此时的最小值为.
可得
2． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件：
（1）A ，B ，C 都发生或都不发生： （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A ，B ，C 中不多于两个发生； （4）A ，B ，C 中至少有两个发生. 【答案】⑴（2）（3）（4）
3． 若
【答案】
其中
试求
4． 设a 为区间（0, 1）上的一个定点, 随机变量X 服从区间（0, 1）上的均匀分布. 以Y 表示点X 到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.
【答案】由题设条件知
所以由此方程等价于
从中解得在（0, 1）内的实根为a=0.5, 即a=0.5时, X 与Y 不相关.
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又因为
可得方程
5． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率拒绝的概率不超过0.05, 而当案.
【答案】此类检验问题的拒绝域为：受概率
满足如下不等式组
由于批量N=50不太大，因此应该用超几何分布计算接收概率L （p ）:
通过编程搜索可以找到，当n=ll，c=l时，
时
时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方
. 因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接
c ），可以满足要求，于是检验方案为（n ，它表示在抽取11件产品检查其中的不合格品件数>1，则拒受该批产品，否则接受.
6． 检查四批产品, 其批量与不合格品率如下:
表
试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为
7． 设总体分布列如下，
（1）（2）
【答案】（1）总体均值估计量为
其中为样本均值，若
（2）总体均值
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是样本，试求未知参数的矩估计.
（正整数）是未知参数；
解之可得N=2E（X ）+1.故N 的矩
不是整数，可取大于
的最小整数代替
由于
故有即从而参数的矩估计为
8． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）.
【答案】X 的分布列为
表
所以
二、证明题
9． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且
试证:
【答案】
10．设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
11．设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】
因为
为独立同分布的随机变量序列,
所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
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