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一、计算题

1． 设总体密度函数为

（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程

解之得

（2）令Y=-InX, 则

因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ），从而有

于是

为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,

于是

而

于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界

为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以

的有效估计.

2． 设为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

其中

试问

是否服从大数定律？

从

而是g （θ）

是其样本.

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故存在, 所以由辛钦大数定律知服从大数定律.

3． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则

所以

其中

1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

4． 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

i=l，2，3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求

【答案】记事件

为“第i 个零件是不合格品”，i=l，2，3. 则因为.

所以

5． 测得一组弹簧形变x （单位：cm ）和相应的外力y （单位：N ）数据如下：

表

由胡克定律知

试估计k ，并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

而

【答案】已知k 的最小二乘估计为

的均值和方差分别为k

和

在题中已经给

出所

以从而

其中又

且两者独立，从而有

因此的预测区间为其中

此处，由样本数据可计算得到

从而

而x=2.6cm相应的外力的预测值为

当

时，查表知

故

因而得到的预测区间为

6． 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.

【答案】记X 为掷4次中点数6出现的次数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4. 由确定概率的古典方法得

将以上结果列表为

表

由以上的计算结果也可以看出：出现0次6点的可能性最大.

7． 下表是经过整理后得到的分组样本:

表