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一、计算题

1． 设随机变量X 的分布函数为

试求

【答案】X 的密度函数为

所以

由此得

2． 由正态总体N （100, 4）抽取两个独立样本, 样本均值分别为, 样本容量分别为15, 20, 试求

【答案】由条件得即

, 于是

3． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.

【答案】

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且相互独立, 从而

4． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.

【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有

个，而事件“第一个盒子中有

种可能；第二

3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有

步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为

5． 设伽玛分布，即

【答案】

是来自如下总体的一个样本

，求的后验期望估计. 与的联合分布为

于是的后验分布为

若取的先验分布为

这是一个伽玛分布

6． n 个男孩，m 个女孩

因而的后验期望估计为

随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.

时，所求概率为

【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”则相当于“没有两个1连在一起”，于是在

等.

到该直线的垂直距离平方和最

譬如，

7． 求一回归直线y=A+Bx，使所有样本点小.

【答案】点

到直线y=A+Bx的垂直距离的平方为

如今要求A 与B ，使

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使用微分法，并命其导数为零，可得如下两个方程：

由（*）式可得

并将其代入（**）式，可得

注意到恒等式

可将上式化为

使用相同的记号

则上式可表示为

整理后可得如下的二次方程：

由于判别式

故此二次方程有实根

.

这里是斜率，根据散点图上的上升趋势或下降趋势选择备表达式中的士号.

8． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），试求以下Y 的密度函数：

（1）【答案】（1）

. ；（2

）

所以当

时，Y 的密度函数为

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

这个分布被称为半正态分布.

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的可能取值范围为

当y>0时，Y 的分布函数为