2017年南京大学2102概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
试求【答案】先求
是独立同分布的随机变量, 其共同的密度函数为
的密度函数、数学期望和方差.
的分布函数. 当0 所以当0 这是贝塔分布 由此得 2． 设有容量为n 的样本A , 它的样本均值为mA. 现对样本中每一个观测值施行如下变换差、极差和中位数. 【答案】不妨设样本A 为 样本B 为 , 且 因而 , 样本标准差为^, 样本极差为RA , 样本中位数为 如此得到样本B , 试写出样本B 的均值、标准 3． 设随机变量X 的密度函数为件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）. ，其中【答案】因为Y 〜b （3，P ） 所以 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事 4． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数 表 【答案】 5． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望. 【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m. 6． 设总体密度函数为 （1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为 对数似然函数为 将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程 解之得 （2）令Y=-InX, 则 ，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ） 于是 为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx , 于是 而 于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界 为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以 从 而是g （θ） 所以 是其样本. 的有效估计. 7 某产品的合格品率为99%, 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有95%的可能性使每箱中． 至少有100个合格产品. 【答案】设包装箱中装有n 个产品, 其中合格品数记为X , 则有 下求m 使 成立. 利用二项分布的正态近似, 可得 查表可得 由此解得品. 8． 设 , 即每箱装有104个产品, 能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产 是来自的样本, 问n 多大时才能使得因而 成立？ 【答案】样本均值 所以 这给出即n 至少为62时, 上述概率不等式成立. 二、证明题 9． 设是参数的无偏估计，且有 【答案】由方差的定义可知 ， 因而 所以 10．设 不是的无偏估计. 是来自两参数指数分布 的样本, 证明（ ）是充分统计量. 试证 不是的无偏估计. 由于 是参数的无偏估计， 即 【答案】由已知, 样本联合密度函数为 令 , 由因子分解定理, 是 的充分统计量• 11．令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明 ： 【答案】