2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研仿真模拟五套题
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2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研仿真模拟五套题（一） . ... 2 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研仿真模拟五套题（二） . . 11 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研仿真模拟五套题（三） . . 20 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研仿真模拟五套题（四） . . 30 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研仿真模拟五套题（五） . . 41
一、分析计算题
1． 设
且
问
：当当
a n 和b 满足何种关系时且
时
，
不妨设
于是有基础解系为
当
即
），得
由此得同解方程组
：
系.
2． t 取何值时4元实二次型
【答案】f 的矩阵及其顺序主子式为
f 为正定的充要条件是每个解此不等式组，得
亦即
即t 取开区间
内任何实数时f 都是正定的.
且
而
为
的一基础解
时，对A 施行初等行变换（第一行乘-1加至其余各
行，再第2, …，n 行都乘
时
只有零解、有非零解？并求其一基础解系.
因此
只有零解.
同解.
此时
有无穷多解.
由于
【答案】易知
为正定的？
3． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明; 若不是，则举出反例;
（2）
设
，这里
都只有一个特征
值
. 证明A 与B 相似的充分必要条件
是
的特征子空间.
分别表示A , B 的属于
【答案】 （1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：
显然，A 与B 的特征多项式同为构成，B 由两个
（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以充分性. 记A , B 的所以
标准形分别为
, 但由于A 由3个
，最小多项式同为
与
相似, 从而
块, 故
块构成，是两个不同的标准形，所以A 与B 不相似.
，因为A , B 都只有一个特征值
，
都只能有以下3种可能性:
现在，由于因此
，故A 与B 相似.
, 所以
，从而
4． 设V 是数域K 上的n 维线性空间, g 是V 上的非退化的对称双线性函数, W 是V 的子空间, 令
证明:
【答案】（1）取W 的一个基基下的度量矩阵为A , 则A 可逆. 因为
于是
的充要条件是其坐标是齐次线性方程组
将之扩充为V 的基设g 关于此
（1）
的解由（1）的系数矩阵的秩为r , 得到（1）的基础解系含以其为坐标的向量设为结论成立.
（2
）记
由（1）知
. 显然
则
就是
个解向量, 的基, 于是由
故
故
5． 判断下列给出的各变换T 是否为线性变换:
（1）为线性空间V 的一固定向量,
则
V 是全体复数对普通运算作成的实数域R 上与复数域C 上的线性空间, （2
）（3）在
中,
则T 就是恒等变换,
当然是线性变换；
若
故此时T 不是V 的线性变换.
（2）
V 作为R 上线性空间, 则T 为其线性变换:因为任取复数
但V 作为C
上线性空间
,
T
不是其线性变换:因为例如, 取
（3）T
是
的线性变换:因为
6． 设
问：
是否为
的线性组合？如果是，求组合系数.
时有 与实数
k ,
则
取数
【答案】（1）若
【答案】因方程组
的系数行列式
故有唯一解，且由克拉默法则（或消元法）易知其解为
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