2018年青岛理工大学理学院816高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． （1） A 是一个n 级可逆矩阵，求下列二次型的矩阵
.
（2）证明：当A 是正定矩阵时，f 是正定二次型；
（3）当A 是实对称矩阵时，讨论A 的正、负惯性指数与f 的正、负惯性指数之间的关系. 【答案】 （1）方法1因为A 可逆，故
存在
.
因为
不一定是对称矩阵，所以f 的矩阵是
这里
是A 的伴随矩阵.
其中
将f 按第一行展开
是A 的第i 个列向量.
方法2把A 表成
再将上式中第示A 的代数余子式. 得
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个行列式按第i 列展开，并用表
因为不一定是对称矩阵，所以f 的矩阵是
2． 设W 是
的实系数多项式全体所组成的线性空间, 求
【答案】设A 的最小多项式次数为k , 则
的次数为k 矛盾）. 当则有
故’ 3．
设则
也是
均为有理数，且的k 重根.
为无理数，证明:若
. 时, 令
即
可由
线性表出. 又线性表出.
线性无关（否则, 与A
的最小多项式或时
,
显然可由
线性
表出, 从而A 的任一多项式可由
有理系数多项式的k 重根，
【答案】由于显然有理数域Q 上多项式
在Q 上不可约|故又因为
从而' 是
是无理数且
的k 重根，故它也是
的根，但不是们的根，但却不是是的k 重根.
4． 设
已知【答案】故
5． 设
其中
求
的维数, 并求其一基.
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），且又与
不互素（因为二者都有根
）
的根. 由于这些都是Q 上多项式，于是由上面的证明知，的根（否则亦由上证明知，
. 将是
的根），因此，
. 也是它
存在，求
【答案】为求初等行变换:
的一个极大无关组, 可以此五个向量为列作矩阵A , 并对A 施行
由于
为其一基.
6． 举例说明断语“如果a 是
则
因此a 是
7． 设
【答案】由于必有
使
矩阵, 按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令
在这线性空间中, 变换
是一个线性变换, 试求F 的核的维数与一组基. 【答案】解法1取
的一组基
则由①可求得其中
令
得基础解系
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且由B 知, 第2、3、4列线性无关, 是极大无关组, 故的维数为3
且
的m 重根，那么a 是的
重根”是不对的.
【答案】可以用反例来说明这一结论. 设
的优重根，但是a 不是的根.
使
上的非零向量.
是线性空间V 中非零向量, 证明有
8． 元素属于实数域R 的