2018年曲阜师范大学管理学院850高等代数A考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设给出一基:
【答案】
又显然K 上多项式因为若
于是又若于是
K 上n-1维线性空间, 即
则
则
因此,
是K 上无限维线性空间, 而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）
.
为其一基（扩大
作成线性空间显然. 而且类似②易知, 是无限维线性空间, 又
则维子空间
.
的一个子空间, 又显然若
则即零空间,
若
且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意
线性表示, 因此,
是
即中每个多项式都可由
作成K 上线性空间显然,
它是
的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然.
都属于且线性无关:
为数域K 上全体多项式作成的线性空间,
为由0及K 上次数小于n 的全体多项
式作成的n 维空间, 问:以下的
对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？并
的基的概念）.
2． 设V 是数域P 上全体n 阶方阵构成的线性空间, A 是V 中的一个取定的矩阵, 定义V 的线性变换为
证明:（1）（2）设
【答案】 （1）若（2
）由
取基础解系
不可逆.
判断显然
能否对角化. 不可逆. 若
则^
于是
不是单射, 故不可逆. 对于特征值
解方程组
取基础解系
则A
的特征值为
对于特征值
解方程组
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令则
由矩阵单位
是
V
的基, 则
（1
）
也是V 的基. 因为
这里
3． 设
所以
有4个线性无关的特征向量,
故可以对角化.
是n 维欧氏空间V 中一组向量, 而
证明:当且仅当【答案】
设
时
,
则
线性无关.
是一个m 元二次型.
线性无关的充分必要条件是对任意不全为0的
都有
即有
故是正定矩阵, 当然反之, 设若有则有
亦即
由于
此方程组只有零解, 即有故线性无关.
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4． 求满足【答案】若若若
秩秩
则
的所有n 阶方阵A.
则显然
则由上题知：
若秩
故当
时
则
当
因此，满足
的一切满秩方阵.
的正、负惯性指数分别为p , q, 则, 其中
对于
中非零向量
都有
的维数分别为
而对
中
都有
可表成两两正交的子空间
且对于
中的非零向量
故此时
时亦可验算
的所有方阵是：零
方阵及适合
5． 实二次型的直和:都有【答案】设
其中, 令
为n 阶单位阵
的第i 列,
并取
,
所以
如
由
.
的任二生成元内积:
同理是直和, 故
知
同理可证,
下证:事实上, 所以
因此所以
6． 计算
【答案】