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一、选择题

1． 设

又

②

③

与

为空间的两组基, 且

①

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

将①代入④得

由②有

④

即

2． 设A 、B 为满足

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关

故

的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

.

D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设

由于性相关. 又由方法2:设

知

，

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

所以有

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并记A 各列依次为

从而

线

由于不妨

可推得AB 的第一列

考虑到

即

所以有

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

3． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

【答案】D 【解析】其中

则PAQ=B

4． 设

均为n 维列向量，A 是

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则

线性无关.

【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩

则

线性无关，否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知线性相关，所以于是

因此线性相关，故选A.

5． 设

则3条直线

（其中）交于一点的充要条件是（ ）

A. 线性相关 B. 线性无关

C. 秩

D.

线性相关，

线性无关

【答案】D 【解析】令

则方程组①可改写为

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①

②

其中

秩由秩从而可由

. ，可知

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

线性表出.

线性相关，故选D.

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

二、分析计算题

6． 在6级行列式中，

【答案】 7． 给定

的两组基

定义线性变换

（1）写出由基（2）写出（3）写出

在基在基

到基

下的矩阵; 下的矩阵.

，则

的过渡矩阵;

带正号；

这两项应带有什么符号？ 带正号.

【答案】 （1）令

又令过渡矩阵为

对两端将. 的表达式代入后，得到

解此方程，得

,

（2）因为

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