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一、选择题

1． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解从而

线性无关.

方法2:对向量组C ，由于

线性无关，且

因为所以向量组线性无关.

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

则

为（A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

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.

）

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

则A=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】由题设知，

所以

4． 设

与

为空间的两组基, 且

又

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

由②有

将①代入④得

即故.

5． 设

则A 与B （ ）.

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

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①

②

③

④

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同.

,

故

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式使

二、分析计算题

6． 确定常数a , 使向量

组

不能由向量组【答案】

记性表示，故秩

当当

时

，

不能由

时，由于

考虑线性方程组

因为秩

秩

所以方程组

从而

故线性表示，所以线性表示.

因为

所以可

由符合题意.

或

不能由

线性表示.

但

线

可由向量

组

线性表示，但向量

组

无解，即不能由线性表示，与题设矛盾. 因此

7． 设A 是n 阶实对称矩阵，且满足

【答案】A 是正定矩阵.

（1）

分析由式（1）可得A 的一个零化多项式，讨论特征值比较方便. 证明由式（1）知

是A 的零化多项式，

从而A 的特征值仅能为1，3，于是

由A 是实对称矩阵，则其特征值为实数，

的特征值只能为1，3, 即A 的特征值全大于0, 故A 正定.

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