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一、证明题

1． 证明下列各式

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）令（2）设

代入原方程有:

（3）令（4）令

则则

,

因此

因此

2． 设

证明:

对任意

无界.

【答案】对任意稠密性, 可以在

这说明

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, 则

,

因此

则

任意正数

对任意正数中选取有理数

这样

有

对任意正数

在上

由有理数的

在上无界.

3． 试用定义证明:

（1）数列（2）数列敛于极限a.

（1

）取

,

则

,

当

不以1为极限. 因此, 数列, 发散.

当即当

时, 有

时, 有

即

对

取

, 又因为

所以

是无界的. 设a 是任意一个实数, 取

之外, 否则

有界.

故数列

,

则不

中有无穷多个项落在

时

,

于是,

数列

中有无穷多个项落在

不以1为极限; 发散.

若在

之外数列

中的项至多只有有限个, 则称数列

收

【答案】定义:任给

之外. 由定义知, （2）当n 为偶数时

于是, 数列

收敛于任何一个数, 即数列 4． 设

证明

的充要条件是

则时, 有则

【答案】必要性, 若对

取充分性, 若

当

则当时, 有即

5． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当又当由此可知当所以当

时,

有

时, 有时, 有

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在[a, b]上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

. , 先证M （x ）在点时有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

右连续.

,

. 又MU ）是单调递增的,

时, 有

故

.

连续. 由

的任意性知M （x ）在[a, b]上连续.

综上所述, M （x ）在点

二、解答题

6． 计算下列各题:

（1）（2）

（3）【答案】 （1）

（2）

（3）

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