2018年上海大学力学所611数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？
【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给
的时,
（1）由不等式故（2）由（3）当
. 即
知, 由在点x 0连续.
在点x 0连续.
, 则
与
为
时,
, 而|f|在x 0连续, 故
存
在
, 使得
当
与也在点x 0连续. 又问:若
或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否
或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,
常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.
2． 证明在
【答案】设
上,
, 则
所以所以当
在时, 有
上严格单调递增.
. 即
设所以于是当
在时, 有,
因为
上严格单调递增.
, 即
故对 3． 设
为
内的有界函数. 证明:
【答案】因为
在
内有界, 则存在
使得
. 对任意
利
在
内一致连续当且仅当
其中
, 成立
用拉格朗日中值定理, 得
其中介于
和
之间, 显然有
于是有
由此可知
连续当且仅当, 4． 证明:
对
成立.
这样就将问题转化为求令
解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且注意到,
和,
,
所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为
. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为
, 即
; 可得驻点
.
此时f （0, 0）=0,
. 因此, f （x , y ）在y=0上的
在区域
上的最大值.
【答案】将原不等式变形为
在
内一致连续当且仅当
结论得证.
在
内一致连续
,
在
内一致
同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为
5． 证明sinx
在
【答案】对于任意的
上一致连续.
有
对任给的sinx
在
,
取, 则对一切
,
当时,
有, 故
上一致连续
.
6． 设S 为非空有下界数集. 证明:
【答案】必要性, 设任一元素
x ,
充分性, 设取
则又因为
则
因为是S 的下确界, 所以是S 的一个下界. 于是, 对于S 的所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素x , 所以是S 的下确界, 即
, 即是S 的一个下界. 对于任意
二、解答题
7． 应用换元积分法求下列不定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）（29）（31）（33）（35）【答案】 （1）
（2）（3）（4）
（2） （4）
（6）
（8） （10） （12） （14）t （16）
（18） （20） （22） （24） （26）
（28）
（30）
（32）; （34
） （36）
; G 为自然数