2018年四川师范大学数学与软件科学学院850数学专业综合[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】若从而
2． 应用柯西收敛准则, 证明以下数列
（1）（2）
【答案】（1）设
则有
因为
（2）设
于是对任意正数
（不妨设则当则有
对任给的收敛.
3． 证明:
（1）若f 为凸函数,
为非负实数, 则
为凸函数；
（2）若f , g 均为凸函数, 则f+g为凸函数；
为递增数列, 则无界,
则
等式成立. 若
有界, 由单调有界原理可得
存在,
收敛:
）, 必存在N ,
使当时,
有
收敛.
即取
时, 由柯西收敛准则可知, 数列
取
则对一切有由柯西收敛准则知, 数列
（3）若f 为区间I 上凸函数, g 为意.
总有
上凸増函数, 则为I 上凸函数.
和任
【答案】（1）设f 为定义在区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知,
对任意
两边同乘非负实数, 得到
即
故有
两式相加得到
即
故f+g为凸函数.
（3）由凸函数的定义知, 对于任意因为g 为
上的增函数, 所以
又因为g 为凸函数, 所以
由这两个式子可得
故 4． 设
【答案】由上确界定义, 对
证明:存在
使使
又由
由迫敛性得
成立
为I 上的凸函数.
,
有
为凸函数.
和任意
（2）设f , g 均为区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知, 对任意
总
二、计算题
5． 在下列积分中改变累次积分的顺序:
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）
（如图1）
图1
（2）
, （如图2）
图2
（3）
（如图 3）
图3
（4）
（如图4）
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