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一、证明题

1． 己知

为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明

发散.

【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得

可以先取n=N+l, 注意到

递增，所以此时有

因为则

所以原命题成立.

2． 举例说明

:

【答案】例如且

在

收敛且f 在

,

令

上连续, 但

得

不存在

上连续时, 不一定有

收敛,

递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得

3． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明

其中

为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知,

在D 上具有连续导数, 故由格林公式知

因此

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【答案】由于

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4． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

于是,

所以

则由

知道

5

．

证明:若f （x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （

x ）在[a, b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n , 存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但

6． 证明级数

不收敛, 即

的子列

从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不存在,

这与f （x ）只有第一类间断点矛盾.

使

收敛的充要条件是:任给正数序在某正整数N ，对一切n>N总有

【答案】充分性 任给正数存在正整数N ，对一切n>N，总有

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当然对n>m>N的m

有从而

由柯西准则知级数必要性 若级数

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数存在自然数N 1，当n>n> N1时，

特别地，取N ＞N 1 + 1, 则对任意n>N, 有

7． 设函数等式:

【答案】设

则

在区间

上严格递增且连续

,

注意到

故

8． 用区间套定理证明确界原理.

【答案】设S 是非空有上界的数集, b 是S 的一个上界, a 不是S 的上界, 显然a

令区间

,

且

令于是有

,

且

如此下去, 得一区间套区间套

定理知, 存在首先,

其次,

有,

因为

, 且, 因而

, 所以当n 充分大时有

, 往证

.

, 即是S 的一个上界.

, 而不是S 的上界, 所以不是S 的

;

, 其具有性质:不是S 的上界,

是S 的上界（n=1, 2, ... ）, 由

;

若

不是S 的上界, 则取

,

, 若是S 的上界, 则取, 若c 1是S 的上界, 则取

若

不是S 的上界, 则取

于是得

为

的反函数, 试证成立

上界, 故

9． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I

上任意两点

都有

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