2018年四川师范大学数学与软件科学学院625数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、综合题
1． 是否存在
由
时, 由
由又知由于是
这与连续, 可知
存在及的连续可导函数
知,
为满足:在
且
则
当
【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,
上严格单调递増, 又
由
存在, .
根据单调有界定理,
从而存在, 必有
矛盾, 所以假设不成立,
所以这样的函数不存在.
方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当
2． 求内摆线
时, 有, 得有
这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在. 所围图形的面积（图）
.
知
在
上严格单调递增,
图
【答案】所围图形的面积为
3． 设函数p （x ）在[a, b]上非负连续, f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续单调增加, 则
【答案】用重积分来证明. 考察差
交换积分变量x 与y 的位置, 仍然有
于是有
从而原不等式成立.
4． 求下列各曲线在指定点处的曲率:
（1）xy=4, 在点（2, 2）; （2）y=Inx , 在点（1, 0） （3）（4）【答案】（1）
,
,
在,
,
在的点
, 于是曲线在点（2, 2）处的曲率为
（2）
, 于是曲线在点（1, 0）处的曲率为
（3）
所求的曲率为
（4）
,
,
的点
5． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性:
⑴（3）（5）
（7）
【答案】（1）因（2）因（3）因（4）因
（5）因（6）因所以原级数发散. （7）
6． 计算二重积分
其中
是双纽线
,
则双纽线方程为
围成的区域.
（如图）:
【答案】令
故b>a时原级数发散，b ，故 ，所以原级数发散. 所以原级数收敛. 故 故原级数收敛. 故 所以原级数收敛. 所以原级数发散. 图 由于区域和被积函数关于x 轴对称, 故 7． 求曲面方程为 在点处的切平面方程和法线方程. . 所以切平面 【答案】由于z 在（1, 1）处可微, 从而切平面存在. 因为
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